$\frac{১}{৩},\frac{৫}{৬},১\frac{৫}{৬},১\frac{৫}{৬}$ এর পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

এই ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি বের করার জন্য প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর করি এবং তাদের মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে বের করার চেষ্টা করি।

প্রদত্ত ধারাটি হলো:

\( \frac{১}{৩} \), \( \frac{৫}{৬} \), \( ১\frac{৫}{৬} \), \( ১\frac{৫}{৬} \)

বাংলা সংখ্যাগুলিকে ইংরেজিতে রূপান্তর করে লিখলে:

\( \frac{1}{3} \), \( \frac{5}{6} \), \( 1\frac{5}{6} \), \( 1\frac{5}{6} \)

এবার মিশ্র ভগ্নাংশগুলোকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করি এবং সবগুলো ভগ্নাংশকে সাধারণ হর (৬) বিশিষ্ট করি:

    
• প্রথম পদ: \( \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \)
    
• দ্বিতীয় পদ: \( \frac{5}{6} \)
    
• তৃতীয় পদ: \( 1\frac{5}{6} = \frac{(1 \times 6) + 5}{6} = \frac{6+5}{6} = \frac{11}{6} \)
    
• চতুর্থ পদ: \( 1\frac{5}{6} = \frac{(1 \times 6) + 5}{6} = \frac{6+5}{6} = \frac{11}{6} \)

সুতরাং, ধারাটি দাঁড়ালো:

\( \frac{2}{6}, \frac{5}{6}, \frac{11}{6}, \frac{11}{6} \)

এবার আমরা পদগুলোর লব (numerator) গুলোর মধ্যে পার্থক্য দেখি:

    
• প্রথম লব = 2
    
• দ্বিতীয় লব = 5
    
• তৃতীয় লব = 11
    
• চতুর্থ লব = 11

লবগুলোর পার্থক্য:

    
• দ্বিতীয় লব - প্রথম লব = \( 5 - 2 = 3 \)
    
• তৃতীয় লব - দ্বিতীয় লব = \( 11 - 5 = 6 \)
    
• চতুর্থ লব - তৃতীয় লব = \( 11 - 11 = 0 \)

পার্থক্যগুলোর ধারাটি হলো: 3, 6, 0।

এই পার্থক্যগুলোর ধারাটি একটি চক্রাকার (cyclic) প্যাটার্ন অনুসরণ করছে বলে মনে হয়: 3, 6, 0, 3, 6, 0, ...

সুতরাং, পরবর্তী পার্থক্যটি (পঞ্চম পদের জন্য) হবে 3।

পঞ্চম পদের লব হবে চতুর্থ পদের লব + পরবর্তী পার্থক্য:

\( 11 + 3 = 14 \)

অতএব, ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি হবে \( \frac{14}{6} \)।

এখন এই ভগ্নাংশটিকে সরল করে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করি:

\( \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \)

\( \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \)

এটি বিকল্প ৪ এর সাথে মিলে যায়।